https://okwave.jp/qa/q9571473.html
の続きです。

先ず前投稿のご回答で下記のようにμ_0を定義すれば複素測度の定義を満たすとのご指摘がありましたのでそれを採用させていただく事にします。

Cは複素数体,B(C)をC上のボレルσ集合体を表すものとし,
A_C={{x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]}∈2^C;α,β∈C}}とする。
その時,μ_0:A_C→C;A_C∋∀{x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]}
→μ_0({x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]})
:=|Re(α)-Re(β)|+i|Im(α)-Im(β)|
と定義すると,μ|_{A_C}=μ_0となるような複素測度μ:B(C)→Cが一意的に存在する。

この時,Reμ:A→R;A∋∀{x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]}
→(Reμ)({x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]})
:=Reμ{x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]}

同様に
Imμ:A→RもImμ{x+iy∈C;x∈(min(Re(α),Re(β)),max(Re(α),Re(β))],y∈(min(Im(α),Im(β)),max(Im(α),Im(β))]}

と定義すると,Reμ,Imμとも明らかに複素測度の定義を満たします。

J':[a,b]→C (a,b∈R, a<b) をジョルダン曲線とするとJ:=J'|_{(a,b]}は
J^{++}:(a^{++},b^{++}]→CはJ^{++}=J_{(a^{++},b^{++}]}でRe J^{++}, I m J^{++} とも単調増加連続関数,
J^{-+}:(a^{-+},b^{-+}]→CはJ^{-+}=J_{(a^{-+},b^{-+}]}でRe J^{-+} は単調減少連続関数,Im J^{-+} は単調増加連続関数,
J^{--}:(a^{--},b^{--}]→CはJ^{--}=J_{(a^{--},b^{--}]}でRe J^{--}, I m J^{--}とも単調減少連続関数,
J^{+-}:(a^{+-},b^{+-}]→CはJ^{+-}=J_{(a^{+-},b^{+-}]}でRe J^{+-}は単調増加連続関数, Im J^{-+} は単調減少連続関数,
(但しa^{++},b^{++},a^{-+},b^{-+},a^{--},b^{--},a^{+-},b^{+-}∈[a,b]、[a^{++},b^{++}],[a^{-+},b^{-+}],[a^{--},b^{--}],[a^{+-},b^{+-}]は互いに素)

の4種類の部分ジョルダン曲線J^{++},J^{-+},J^{--},J^{+-} 高々可算個の組み合わせの繋がりで表されますよね?


さて次に複素リーマン積分について述べます。

P(a^{++},b^{++}):=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a^{++},b^{++})^{k-1};(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ(a^{++},b^{++}):P(a^{++},b^{++})→(0,b^{++}-a^{++})をP(a^{++},b^{++})∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ(a^{++},b^{++})((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1:=a^{++},p_{k+1}:=b^{++})と定義する。

そして,f:J'[a,b]→Cを連続と仮定し,この定義式を下記のように変形していって,,

∫_{J^{++}}f(z)dz:=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)}f(ξ_m)(J^{++}(p_{m+1})-J^{++}(p_m))
(ここで, k:N→Nは増加列, ξ_m∈J^{++}(p_m,p_{m+1}))

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)}f(ξ_m) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m) + i (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m)))

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)}f(ξ_m) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
+ i lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)}f(ξ_m) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m))

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} (Re f(ξ_m) + i Im f(ξ_m)) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
+ i lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} (Re f(ξ_m) + i Im f(ξ_m)) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m))

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} Re f(ξ_m) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
+ i lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} Im f(ξ_m) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
+ i lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} Re f(ξ_m) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m))
- lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} Im f(ξ_m) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m))

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
-lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m)))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m)))
-(lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m)
 -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{++},b^{++})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{++}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{++}(p_{m+1})- Im J^{++}(p_m)))
(但し,Re f^±(z):=max{±Re f(z), 0}, Im f^±(z):=max{±Im f(z), 0} (複合同順)) (∵J^{++}は連続)

=:ア^{++}

と変形できる。この時,

Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m) ≧ 0,
Im J^{++}(p_{m+1})-Im J^{++}(p_m) ≧ 0

なので

Reμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})]) = Re J^{++}(p_{m+1})-Re J^{++}(p_m) > 0,
Imμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})]) = Im J^{++}(p_{m+1})-Im J^{++}(p_m) > 0

が言える。従って, 

η_m^± := inf Re f^±((J^{++}(p_m}),J^{++}(p_{m+1})]),
λ_m ^± := inf Im f^±((J^{++}(p_m}),J^{++}(p_{m+1})]) (複合同順)

と置くと,

ア^{++} = 
      lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} η_m^+ Reμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})])
  -  lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} η_m^- Reμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})])
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} λ_m^+ Reμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})])
  -  lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} λ_m^- Reμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})]))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} η_m^+ Imμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})])
  -  lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} η_m^- Imμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})]))
- (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} λ_m^+ Imμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})])
-  lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} λ_m^- Imμ((J^{++}(p_m), J^{++}(p_{m+1})]))
=:イ^{++}

と書け,

η_m^±I_{(Re J^{++}(p_m), Re J^{++}(p_{m+1})]} \nearrow Re f^±,
λ_m^±I_{(Im J^{++}(p_m), Im J^{++}(p_{m+1})]} \nearrow Im f^±  (複合同順)
(as n→∞) とRe f^{±}, Im f^{±}に下から近づく可測単関数なってる事が分かる(ここでIはindicator関数を表す)。

そこで,

イ^{++}=(∫_{Re J^{++}((a^{++},b^{++}])} Re f^+ d Reμ - ∫_{Re J^{++}((a^{++},b^{++}])} Re f^- d Reμ)
+i (∫_{Re J^{++}((a^{++},b^{++}])} Im f^+ d Reμ - ∫_{Re J^{++}((a^{++},b^{++}])} Im f^- d Reμ)
+i (∫_{Im J^{++}((a^{++},b^{++}])} Re f^+ d Imμ - ∫_{Im J^{++}((a^{++},b^{++}])} Re f^- d Imμ)
-(∫_{Im J^{++}((a^{++},b^{++}])} Im f^+ d Imμ - ∫_{Im J^{++}((a^{++},b^{++}])} Im f^- d Imμ)

:=∫_{J^{++}((a^{++},b^{++}])}^{++} f dμ

と(複素ルベーグ積分の形として表せ)いう記号を便宜上の理由で導入する。同様にして,ア^{-+}では実方向が単調減少なので冒頭のμ((α,β])=|Reα-Reβ|+i|Imα-Imβ|にそぐように,且つ複素リーマン積分も考慮して書き表すと,

ア^{-+}=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m))
-lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m)))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m)))
-(lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m)
 -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m)))

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-|Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m)|)
-lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-|Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m)|)
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-|Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m)|)
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-|Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m)|))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m)))
-(lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m)
 -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (Im J^{-+}(p_{m+1})- Im J^{-+}(p_m)))
(∵Re J^{-+}(p_{m+1})-Re J^{-+}(p_m)|<0)

=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-Reμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1})))
-lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-Reμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1})))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-Reμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1})))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) (-Reμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1}))))
+ i (lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) Imμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1}))
    -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Re f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) Imμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1})))
-(lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^+((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) Imμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1}))
 -lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^{k(n)}∈δ(a^{-+},b^{-+})^{-1}(1/n)}{�農{m=1}^{k(n)} inf Im f^-((J^{-+}((p_m,p_{m+1}])) Imμ(J^{-+}(p_m), J^{-+}(p_{m+1})))

=-(∫_{Re J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Re f^+ d Reμ - ∫_{Re J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Re f^- d Reμ)
-i (∫_{Re J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Im f^+ d Reμ - ∫_{Re J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Im f^- d Reμ)
+i (∫_{Im J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Re f^+ d Imμ - ∫_{Im J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Re f^- d Imμ)
-(∫_{Im J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Im f^+ d Imμ - ∫_{Im J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])} Im f^- d Imμ)

= ∫_{J^{-+}((a^{-+},b^{-+}])}^{-+} f dμ.


更に同じ要領でJ^{--},J^{+-}についても

 ∫_{J^{--}((a^{--},b^{--}])}^{--} f dμ=-∫_{J^{--}((a^{--},b^{--}])}^{++} f dμ

 ∫_{J^{+-}((a^{+-},b^{+-}])}^{+-} f dμ=-∫_{J^{+-}((a^{+-},b^{+-}])}^{-+} f dμ

と書き表せれる事が分かる。

最後に一般のジョルダン曲線J':[a,b]→Cには4種類の部分ジョルダン曲線J^{++},J^{-+},J^{--},J^{+-}の高々可算個で表せれる事から,

J((a,b]):=J'|_{(a,b]}
=  J^{++}(∪'_{k=1}^∞(a_k^{++},b_k^{++}])
∪'J^{-+}(∪'_{k=1}^∞(a_k^{-+},b_k^{-+}])
∪'J^{--}(∪'_{k=1}^∞(a_k^{--},b_k^{--}])
∪'J^{+-}(∪'_{k=1}^∞(a_k^{+-},b_k^{+-}])
⊂dom f

(但し,記号∪'は素集合同士の和集合を表す)

且つ

(a,b]=∪'_{k=1}^∞(a_k^{++},bkb_k^{++}]∪'∪'_{k=1}^∞(a_k^{-+},bkb_k^{-+}]∪'∪'_{k=1}^∞(a_k^{--},bkb_k^{--}]∪'∪'_{k=1}^∞(a_k^{+-},bkb_k^{+-}]

なるa_k^{++},bkb_k^{++},a_k^{-+},bkb_k^{-+},a_k^{--},bkb_k^{--},a_k^{+-},bkb_k^{+-}∈[a,b]が存在する時,

∫_{J'([a,b])} f(z) dz := 
   �農{k=1}^∞∫_{J^{++}((a_k^{++},b_k^{++}])}^{++} f dμ
+ �農{k=1}^∞∫_{J^{-+}((a_k^{-+},b_k^{-+}])}^{-+} f dμ
+ �農{k=1}^∞∫_{J^{--}((a_k^{--},b_k^{--}])}^{--} f dμ
+ �農{k=1}^∞∫_{J^{+-}((a_k^{+-},b_k^{+-}])}^{+-} f dμ∈C

の時, fはJ'[a,b]上で複素リーマン積分可能といい,∫_{J'([a,b])} f(z) dzはfはJ'[a,b]上で複素リーマン積分と呼ぶ。

これなら,実リーマン積分にて

∫_a^bf(x)dx =∫_{|a-b|} f dμ if a≦b、-∫_{|a-b|} f dμ if a>b,

と実ルベーグ積分に'向き'を導入して定義できる事と同様に,

ジョルダン曲線の逆向きの複素リーマン積分∫_{-J'([a,b])} f(z) dzは-∫_{J'([a,b])} f(z) dz
と書けることが分かり辻褄が合うと思いますが如何でしょうか?